速算技巧

×11

方法：“首尾不动，依次相加”，满十进一。

步骤：

首位：原数的首位就是积的首位。
末位：原数的末位就是积的末位。
中间位：从右向左，将原数相邻的两位数字依次相加，得到积的中间各位。
进位：相加过程中，如果结果满 10，则向前一位进 1。

示例(两位数)：计算 $48 \times 11$

首位：4，末位：8
中间相加：$4+8=12$
组合结果：$(4+1)$ | $2$ | $8 \rightarrow 528$

示例(无进位)：计算 $342 \times 11$

首位：3，末位：2
中间第一次相加 (个位+十位)：$2+4=6$
中间第二次相加 (十位+百位)：$4+3=7$
组合结果：3 | 7 | 6 | 2 $\rightarrow 3762$

示例(有进位)：计算 $581 \times 11$

1. 首位：5，末位：1
2. 中间第一次相加：$1+8=9$
3. 中间第二次相加：$8+5=13$ (结果为 3，向前进 1)
4. 组合结果（从右向左处理）：
   • 末位是 1
   • 中间第一位是 9
   • 中间第二位是 3，并向首位进 1
   • 首位是 $5 + 1 = 6$ (进位)
5. 最终结果：6 | 3 | 9 | 1 $\rightarrow 6391$

示例(连续进位)：计算 $798 \times 11$

1. 首位：7，末位：8
2. 第一次相加 (个位+十位)：$8+9=17$ (结果为 7，向前进 1)
3. 第二次相加 (十位+百位)：$9+7=16$
4. 组合结果（从右向左处理）：
   • 末位是 8
   • 中间第一位是 7，并向下一位进 1
   • 中间第二位是 $16 + 1 = 17$ (进位)，结果为 7，再向前进 1
   • 首位是 $7 + 1 = 8$ (进位)
5. 最终结果：8 | 7 | 7 | 8 $\rightarrow 8778$

×15

方法：原数加上它的一半，再乘以 10。

示例(偶数)：计算 $46 \times 15$

$(46 + \frac{46}{2}) \times 10$
$= (46 + 23) \times 10$
$= 69 \times 10 = 690$

示例(奇数)：计算 $23 \times 15$

原数 + (原数减 1 的一半)，结果末尾添 5
奇数的一半总是 X.5，乘以 10 后末位必然是 5。所以先计算整数部分，最后直接补上 5 即可

$(23 + \frac{23 - 1}{2}) \times 10 + 5$
$= (23 + 11) \times 10 + 5$
$= 34 \times 10 + 5 = 345$

×5, ×25, ×125

方法：将乘法转化为 $\times\frac{10}{2}$, $\times\frac{100}{4}$, $\times\frac{1000}{8}$。

示例：计算 $84 \times 25$

$84 \times \frac{100}{4}$
$= (84 \div 4) \times 100$
$= 21 \times 100 = 2100$

÷5, ÷25, ÷125

方法：将除法转化为 $\times\frac{2}{10}$, $\times\frac{4}{100}$, $\times\frac{8}{1000}$。

示例：计算 $310 \div 25$

$310 \times \frac{4}{100}$
$= \frac{1240}{100}$
$= 12.4$

头同尾合十

方法：十位数相同，个位数之和为 10。积 = (十位数 $\times$ (十位数+1)) 拼接 (个位数之积)。

关键：个位数之积必须占两位，不足则补 0。

示例：

计算 $43 \times 47$

前半部分：$4 \times (4+1) = 20$
后半部分：$3 \times 7 = 21$
拼接结果：$2021$

计算 $61 \times 69$ (需补 0)

前半部分：$6 \times (6+1) = 42$
后半部分：$1 \times 9 = 09$ (补 0)
拼接结果：$4209$

尾同头合十

方法：个位数相同，十位数之和为 10。积 = (十位数之积 + 个位数) 拼接 (个位数之积)。

关键：个位数之积必须占两位，不足则补 0。

示例：

计算 $46 \times 66$

前半部分：$(4 \times 6) + 6 = 30$
后半部分：$6 \times 6 = 36$
拼接结果：$3036$

计算 $23 \times 83$ (需补 0)

前半部分：$(2 \times 8) + 3 = 19$
后半部分：$3 \times 3 = 09$ (补 0)
拼接结果：$1909$

分数比较

方法一：交叉相乘法 (最通用)

示例：比较 $\frac{5}{12}$ 和 $\frac{7}{16}$。

计算交叉乘积：
$5 \times 16 = 80$， $7 \times 12 = 84$
因 $80 < 84$，所以 $\frac{5}{12} < \frac{7}{16}$。

方法二：与 1 作差法 (补数法)

适用：当两个分数都略小于 1 时。

示例：比较 $\frac{120}{121}$ 和 $\frac{132}{133}$。

计算与 1 的差：
$1 - \frac{120}{121} = \frac{1}{121}$
$1 - \frac{132}{133} = \frac{1}{133}$
差值越小，原数越大。
因 $\frac{1}{133} < \frac{1}{121}$，所以 $\frac{132}{133} > \frac{120}{121}$。

方法三：分子分母差值法

适用：当两个分数都小于 1，且分子与分母之差相同时。

规则：差值相同时，分子、分母都较大的分数更大。

示例：比较 $\frac{137}{140}$ 和 $\frac{211}{214}$。

两分数分子分母之差均为 3。
根据规则，$\frac{211}{214}$ 的分子分母更大。
结论：$\frac{211}{214} > \frac{137}{140}$。

方法四：倒数法

适用：当两个分数都大于 1 时。

规则：比较倒数，结论与原分数相反。

示例：比较 $\frac{13}{11}$ 和 $\frac{15}{13}$。

取倒数：$\frac{11}{13}$ 和 $\frac{13}{15}$
比较倒数（交叉相乘）：
$11 \times 15 = 165$ > $13 \times 13 = 169$
因 $165< 169$，所以 $\frac{11}{13} < \frac{13}{15}$
原分数结论相反：$\frac{13}{11} > \frac{15}{13}$

方法五：差分法 (更相减损术)

适用：当交叉相乘或化小数的计算量巨大，且两个分数的分子、分母差值不大时。

规则：若 $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$，则 $\frac{a}{b} > \frac{a-c}{b-d} > \frac{c}{d}$。即“差分数”的值在原来两个分数之间。

示例一 (常规情况)：

比较 $\frac{203}{354}$ 和 $\frac{162}{283}$。

计算差分数：$\frac{203-162}{354-283} = \frac{41}{71}$
比较 $\frac{162}{283}$ 与 $\frac{41}{71}$：
$162 \times 71 = 11502$ > $283 \times 41 = 11603$
因 $11502 < 11603$，所以 $\frac{162}{283} < \frac{41}{71}$
得出排序：$\frac{162}{283} < \frac{41}{71} < \frac{203}{354}$
结论：$\frac{203}{354} > \frac{162}{283}$

示例二 (反例)：

比较 $\frac{141}{212}$ 和 $\frac{101}{151}$。

计算差分数：$\frac{141-101}{212-151} = \frac{40}{61}$
比较 $\frac{101}{151}$ 与 $\frac{40}{61}$：
$101 \times 61 = 6161$
$151 \times 40 = 6040$
因 $6161 > 6040$，所以 $\frac{101}{151} > \frac{40}{61}$
得出排序：$\frac{141}{212} < \frac{40}{61} < \frac{101}{151}$
结论：$\frac{141}{212} < \frac{101}{151}$